6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de  Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver  ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema  del siguiente tipo: Grafica A. Método de Euler Mejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.  La fórmula es la siguiente:  Donde Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la  siguiente gráfica:   En la gráfica, vemos que la pendiente promedio   corresponde a la  pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición  inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto   donde   es la aproximación obtenida con  la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente   hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto    como la aproximación de Euler mejorada.  Método de Runge-Kutta El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año  1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos)  para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente,  delproblema de valor inicial.